Zoeken naar maat in natuur en architectuur

Uit: Giorgio Vasari, Vite

Uit: L.8. Alberti, Tien boeken over architectuur, geschreven ca 1450, gedrukt in 1485

Want er is zonder twijfel een zekere voortreffelijkheid en natuurlijke schoonheid in de vormen van gebouwen die onmiddellijk de geest vervult met genoegen en bewondering. Ik ben van mening dat schoonheid, majesteit, elegantie en dergelijke kwaliteiten zitten in die bijzonderheden die, als je ze weg zou nemen of veranderen het geheel alledaags en onaangenaam zouden maken. (...) Hieruit mogen we concluderen dat er (...) drie dingen belangrijk zijn in het geheel waar we ons op richten: het getal en wat ik de afwerking (beschaving) noem en de ordening. Maar er is nog iets anders dat voortkomt uit de verbinding en aansluiting van deze andere onderdelen en dat verleent het geheel schoonheid en gratie.

Dat noemen we harmonie, die we kunnen beschouwen als de oorsprong van alles wat gracieus en mooi is. Het is de taak en functie van harmonie om onderdelen die in hun aard van elkaar verschillen zodanig samen te brengen dat ze samenwerken om een mooi geheel te vormen, zodat we, wanneer zo'n compositie zich via het oog, het oor of een ander zintuig onze geest bereikt, onmiddellijk de harmonie erin zien. Want vanuit onze aard willen we perfectie en kijken er met plezier naar als we dat te zien krijgen; deze harmonie komt niet zozeer uit het lichaam voort of uit de ledematen, maar meer uit zichzelf en uit de natuur, zodat haar ware zetel in de geest en de rede gevestigd is.

Hoofdstuk VI

Architecten maken gebruik van alle verhoudingen die hier genoemd zijn. Niet verward en onduidelijk maar op zo'n manier dat het steeds harmonisch is. Bij de opstand van een kamer die twee keer zo lang als breed is, maken zij bijvoorbeeld geen gebruik van getallen die het drievoud zijn, maar alleen van die getallen die het tweevoudige vormen. Zo gebruiken ze in een kamer waar de lengte drie keer de breedte is, ook alleen de eigen verhoudingen en geen vreemde, dat wil zeggen, ze nemen het drievoud, daar dat het beste past bij de omstandigheden van het bouwwerk. Er zijn enkele andere natuurlijke verhoudingen voor het gebruik in gebouwen die niet ontleend zijn aan getallen maar aan wortels en kwadraten. Wortels zijn de zijden van vierkanten. Kwadraten zijn de oppervlakken van die vierkanten. De vermenigvuldiging van de oppervlakken maakt kubussen. De eerste van alle kubussen (met de wortel één) is opgedragen aan God omdat het in iedere richting één is, aangezien het afgeleid is van één.

Waaraan we mogen toevoegen dat het de meest stabiele en constante van alle figuren is en de basis van alles. Maar als één geen getal maar alleen de oorsprong van al het andere is, zoals sommigen zeggen, mogen we aannemen dat twee het eerste getal is. Als we het getal twee als wortel nemen zal het oppervlak vier zijn dat verhoogd met het gelijke van de wortel een kubus van acht oplevert. Uit deze kubus kunnen we regels voor onze proporties halen, want hier zien we in de eerste plaats de zijde van de kubus, die de wortel van de kubus genoemd wordt, waarvan het oppervlak in getal vier zal zijn en de volledige kubus acht. Vervolgens kunnen we de lijn van een hoek van de kubus naar de overstaande hoek beschouwen. Hij verdeelt het oppervlak van het vierkant in twee gelijke delen en wordt diagonaal genoemd. Het is niet bekend hoe deze in een getal moet worden uitgedrukt. Het verschijnt als de wortel van een oppervlak dat acht is aan elke zijde.

Zoeken naar maat De natuur als maatsysteem De mythische ongrijpbaarheid van de Gulden Snede is niet in de natuur geworteld maar in het hoofd van de mensen, die menen dat de natuur een verhouding nastreeft. De gulden snede blijkt te worden benaderd door de verhouding tussen twee opeenvolgende termen uit de rij van Fibonacci. De Italiaan Leonardo da Pisa, bekend geworden als Fibonacci, beschreef zijn reeks in 1202. Startend met de termen 1 en 1, telde hij steeds de beide laatste termen bijeen om de eropvolgende te verkrijgen 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, enzovoort. Het is natuurlijker om eindige waarden uit de reeks van Fibonacci te nemen. Daardoor ontstaan eenvoudige relaties in aantallen, zoals een raam met 8 x 5 ruitjes (waar de verhouding 1,6 bijhoort).
Gnomonisch groeimodel. Van de driehoek ABC is BB'CC' de gnomon
Sommige groeiprincipes zijn zo elementair, dat ze zowel in de planten- als in de dierenwereld veelvuldig voorkomen. Waar stoffen worden uitgescheiden om vervolgens uit te harden, is sprake van een zekere optelling. Een slak groeit tijdens zo'n proces. Het resultaat is een gnomonisch gevormd slakkehuis. Het gedeelte, dat de slak het laatst toevoegde aan zijn huis wordt gnomon genoemd. Ook planten groeien gnomonisch. Het groeimechanisme werkt hier andersom: een groeitop zet materiaal af. Op de bloemhoofdschijf van een zonnebloem kan men spriraalachtige rijen pitten onderscheiden. In een zonnebloemenveld had 94% van de bloemen aantallen spiralen volgens de Fibonacci reeks (en de overige 6% volgens daarvan afgeleide reeksen).
Fibonacci-structuur in twee dimensies met regelmatige spiraal
Leon Battista Alberti Volgens Vasari, de 16de eeuwse schrijver van een groot overzicht van alle Italiaanse kunstenaars die hij kende, dankt Alberti zijn reputatie vooral aan het geschreven woord. Maar hij heeft ook een aantal belangrijke bouwwerken op zijn naam staan. Het hoeft geen verbazing te wekken dat de vermaarde Leon Battista Alberti beter bekend is door wat hij schreef dan door wat hij maakte met zijn handen. Hij besteedde veel tijd aan het onderzoeken van de wereld en aan de bestudering van de verhoudingen bij de antieken; maar overeenkomstig zijn natuurlijke aanleg legde hij zich, meer dan op zijn praktische werk, vooral toe op zijn geschriften. Hij was een zeer bedreven wiskundige en hij schreef in het Latijn een werk over architectuur in tien boeken, dat in 1481 uitkwam.		Uit: Giorgio Vasari, Vite
*Uit: L.8. Alberti, Tien boeken over architectuur, geschreven ca 1450, gedrukt in 1485*	De grootste kunstenaars in de oudheid waren van mening dat een gebouw vergelijkbaar was met een levend wezen zodat we bij het ontwerpen de natuur moeten navolgen. Laten we daarom onderzoeken hoe het kan gebeuren dat sommige lichamen die de natuur zelf heeft voortgebracht mooier zijn en andere minder mooi of zelfs misvormd. Het is duidelijk dat in lichamen die mooi gevonden worden, de delen of ledematen niet allemaal hetzelfde zijn, ook al verschillen ze niet in alle opzichten; want we vinden dat zelfs die delen waarin de meeste verschillen zitten iets eigens ingeplant hebben dat, bij alle verschillen, ze alle mooi maakt (...)
		L.B. Alberti, Diagram van de verhoudingen in de gevel van de S. Sebastiano in Mantua
L.B. Alberti, Diagram van de verhoudingen in de plattegrond van de S. Sebastiano
Want er is zonder twijfel een zekere voortreffelijkheid en natuurlijke schoonheid in de vormen van gebouwen die onmiddellijk de geest vervult met genoegen en bewondering. Ik ben van mening dat schoonheid, majesteit, elegantie en dergelijke kwaliteiten zitten in die bijzonderheden die, als je ze weg zou nemen of veranderen het geheel alledaags en onaangenaam zouden maken. (...) Hieruit mogen we concluderen dat er (...) drie dingen belangrijk zijn in het geheel waar we ons op richten: het getal en wat ik de afwerking (beschaving) noem en de ordening. Maar er is nog iets anders dat voortkomt uit de verbinding en aansluiting van deze andere onderdelen en dat verleent het geheel schoonheid en gratie. Dat noemen we harmonie, die we kunnen beschouwen als de oorsprong van alles wat gracieus en mooi is. Het is de taak en functie van harmonie om onderdelen die in hun aard van elkaar verschillen zodanig samen te brengen dat ze samenwerken om een mooi geheel te vormen, zodat we, wanneer zo'n compositie zich via het oog, het oor of een ander zintuig onze geest bereikt, onmiddellijk de harmonie erin zien. Want vanuit onze aard willen we perfectie en kijken er met plezier naar als we dat te zien krijgen; deze harmonie komt niet zozeer uit het lichaam voort of uit de ledematen, maar meer uit zichzelf en uit de natuur, zodat haar ware zetel in de geest en de rede gevestigd is.
L.B. Alberti, Centraalbouwschema uit 'De re aedificatoria'
Als het waar is wat hier gezegd is, mogen we concluderen dat schoonheid zulk een overeenstemming en overeenkomst van alle delen van een geheel is wat betreft getal, afwerking en schikking, als harmonie oftewel de voornaamste natuurwet vraagt. Daar streeft architectuur voornamelijk naar en hierdoor krijgt ze schoonheid, waardigheid erg waarde. (...) Onder afwerking versta ik een zekere wederkerige overeenkomst van die lijnen waarmee de verhoudingen gemeten worden, zoals lengte, breedte en hoogte. De regel van deze verhoudingen is het best te halen uit die dingen die we in de natuur zelf het meest volledig en bewonderenswaardig vinden. Ik ben werkelijk iedere dag meer overtuigd van de waarheid van de uitspraak van Pythagoras dat de natuur voorzeker samenhangend is en een voortdurende analogie kent in al haar werken. Ik concludeer hieruit dat dezelfde getallen waardoor de harmonie van klanken ons oor met genoegen treft, ons oog en onze geest behagen. We zullen daarom alle regels voor de afwerking van onze proporties lenen van de musici die de grootste meesters zijn van dit soort getallen en van die bijzondere dingen waarin de natuur buitengewoon en volledig verschijnt.
	Hoofdstuk VI Architecten maken gebruik van alle verhoudingen die hier genoemd zijn. Niet verward en onduidelijk maar op zo'n manier dat het steeds harmonisch is. Bij de opstand van een kamer die twee keer zo lang als breed is, maken zij bijvoorbeeld geen gebruik van getallen die het drievoud zijn, maar alleen van die getallen die het tweevoudige vormen. Zo gebruiken ze in een kamer waar de lengte drie keer de breedte is, ook alleen de eigen verhoudingen en geen vreemde, dat wil zeggen, ze nemen het drievoud, daar dat het beste past bij de omstandigheden van het bouwwerk. Er zijn enkele andere natuurlijke verhoudingen voor het gebruik in gebouwen die niet ontleend zijn aan getallen maar aan wortels en kwadraten. Wortels zijn de zijden van vierkanten. Kwadraten zijn de oppervlakken van die vierkanten. De vermenigvuldiging van de oppervlakken maakt kubussen. De eerste van alle kubussen (met de wortel één) is opgedragen aan God omdat het in iedere richting één is, aangezien het afgeleid is van één.
Waaraan we mogen toevoegen dat het de meest stabiele en constante van alle figuren is en de basis van alles. Maar als één geen getal maar alleen de oorsprong van al het andere is, zoals sommigen zeggen, mogen we aannemen dat twee het eerste getal is. Als we het getal twee als wortel nemen zal het oppervlak vier zijn dat verhoogd met het gelijke van de wortel een kubus van acht oplevert. Uit deze kubus kunnen we regels voor onze proporties halen, want hier zien we in de eerste plaats de zijde van de kubus, die de wortel van de kubus genoemd wordt, waarvan het oppervlak in getal vier zal zijn en de volledige kubus acht. Vervolgens kunnen we de lijn van een hoek van de kubus naar de overstaande hoek beschouwen. Hij verdeelt het oppervlak van het vierkant in twee gelijke delen en wordt diagonaal genoemd. Het is niet bekend hoe deze in een getal moet worden uitgedrukt. Het verschijnt als de wortel van een oppervlak dat acht is aan elke zijde.
	De verschillende regels die we hier hebben beschreven voor het vaststellen van de verhoudingen zijn de natuurlijke en zuivere relaties van getallen en hoeveelheden en de algemene methode voor de praktijk is dat de kortste lijn genomen wordt voor de breedte van het oppervlak en de langste voor de lengte en de middelste lijn voor de hoogte. Hoewel ze soms ten behoeve van het bouwwerk onderling verwisseld worden. We moeten nu iets zeggen over de regels van de verhoudingen die niet afgeleid zijn van harmonie of de natuurlijke verhoudingen van lichamen, maar elders geleend zijn om de drie betrekkingen van de ruimte vast te stellen en om dat te doen moeten we in ogenschouw nemen dat er zeer bijzondere overwegingen zijn in de praktijk die ontleend kunnen worden aan de musici, landmeters en zelfs de rekenkundigen waar we het nu over zullen hebben.
De filosofen noemen dit de gemiddelden en de regels ervoor zijn veelvuldig, maar er zijn er drie in het bijzonder die het meest in achting zijn. Van alle is de bedoeling dat als de twee uitersten gegeven zijn, de middelste rede of getal overeenstemt op een bepaalde vastgestelde manier of, om het zo uit te drukken, met een regelmatige betrekking. Het is zaak dat we in dit onderzoek drie termen vinden waarvan de twee uitersten de grootste en de kleinste zijn en het derde of gemiddelde getal moet met de andere twee corresponderen met een juiste betrekking of proportioneel interval, welk interval de gelijke relatieve afstand is die dit getal af staat van de andere twee. Van de drie methoden om dit gemiddelde te vinden en die het meest goedkeuring ondervinden van de filosofen, is die van het rekenkundig gemiddelde het gemakkelijkst en dat gaat als volgt. Als we de twee uiterste getallen nemen, zoals bijvoorbeeld acht voor het grootste en vier voor het kleinste, tel je ze op dat maakt twaalf. Dat wordt in twee gelijke delen verdeeld en maakt zes.
Het rekenkundige gemiddelde: 8+4=6 Het meetkundige gemiddelde: 9x4=6 Het muzikale gemiddelde: De verhouding van de kleinste term tot de grootste is dezelfde verhouding als die van de afstand van het gemiddelde tot de kleinste en van het gemiddelde tot de grootste term. Zoals bij 60, 72, 90 (60:90=12:18)
Dit getal zes is volgens de rekenkundigen het gemiddelde dat tussen vier en acht staat met gelijke afstand van beide. Het volgende gemiddelde is wat het meetkundige gemiddelde wordt genoemd en dat als volgt verkregen wordt: Vermenigvuldig het kleinste getal, bijvoorbeeld vier, met het grootste, dat we op negen stellen. De vermenigvuldiging levert 36 op. (...) De wortel is dus zes en dit getal zes is het gemiddelde. Het meetkundig gemiddelde is erg moeilijk te vinden met getallen maar heel gemakkelijk met lijnen, maar daar zal ik het nu niet over hebben. Het derde gemiddelde, dat het muzikale genoemd wordt, is wat moeilijker dan het rekenkundige, maar het kan goed door getallen weergegeven worden. (...) Met behulp van deze gemiddelden hebben architecten veel prachtige dingen ontdekt zowel met betrekking tot het gehele gebouw als tot de verschillende delen.