Maatsystemen bij Le Corbusier

Tenslotte verleent nog een andere, bijzonder belangrijke 'tracé regulateur' in het schema strenge precisie aan het dominante ritme van deze gevel. Ik spreek over de relatie die de breedte van de westzijde van de gevel (A) aan die van de aangrenzende zijde (B) bindt. De twee belangrijkste elementen van de compositie. Deze betrekking is gebaseerd op de beroemde verhouding die in alle belangrijke historische perioden gebruikt werd: de gulden snede. Als ik de lengte van het gebouw in twee delen wil verdelen, biedt de gulden snede een punt dat wiskundig exact is. Het enige punt dat zo'n subtiele verdeling kan scheppen. Ik zou bijvoorbeeld de gevel in twee gelijke delen kunnen verdelen of het een 1:2 of 2:3 verhouding kunnen geven, maar deze verdelingen lijken soms banaal of slap. Maar niet altijd. Ook hier moet je op je eigen oordeel afgaan.'

De gulden snede

De verhouding van de gulden snede wordt uitgedrukt in de formule A:B=B:(A+B). Als we een rechte lijn in twee delen A en B verdelen zodat A/B=B/(A+B) of B/A=(A+B)/B vinden we dat de verhouding B/A gelijk is aan (1+V5)/2 of ongeveer 1,618. Dit getal wordt weergegeven door de griekse letter o. Als we de lijn verlengen door deel B met een deel gelijk aan (A+B) krijgen we een reeks van drie lengten A,B,A+B. Dit is het begin van een 'gulden reeks' een wiskundige proportie gebaseerd op de verhouding 0, waar ieder term gelijk is aan de som van de twee voorgaande termen. Het is de enige reeks waarin de termen met elkaar verbonden zijn door vermenig-vuldiging en optelling. In de reeks van de hele getallen 0,1,1,2,3,5,8,13 enz. waar elk getal de som is van de twee voorgaande getallen, nadert de verhouding van twee opeenvolgende getallen het getal o. Deze reeks die in de twaalfde eeuw ontdekt werd door de italiaanse wiskundige Fibonacci, is een benadering van de gulden reeks.

Le Corbusier gebruikte de gulden snede weer in het ontwerp van zijn zakencentrum' in Algiers. Hij suggereert dat het dezelfde eenheid schept van eenheid en verscheidenheid die ook in natuurlijke organismen bestaat.

Le Corbusier, Tekening van een boom als voorbeeld voor het organisme van een gebouw

'Natuurlijke organismen leren ons een belangrijke les: eenheid in vorm, zuivere silhouetten. De secundaire elementen zijn verdeeld op een verlopende schaal die zowel eenheid als verscheidenheid verzekert. Het systeem is tot in zijn verste vertakkingen een geheel.' Over het 'zakencentrum': 'Hier heerst de gulden snede: het heeft de harmonische verpakking en een sprankelend prisma verschaft; het heeft het ritme op een menselijke schaal geregeld, variaties mogelijk gemaakt, fantasierijke details mogelijk gemaakt en het algehele karakter van onder tot boven beheerst. Dit 150 meter hoge gebouw is tegen alle risico's verzekerd: het is in alle delen harmonieus. Het moet bijna wel met ons gevoel harmoniëren.'

Le Corbusier laat ook zien hoe de gulden snede het karakter van de gevel veranderde:

'Alles leek onverbiddelijk beheerst te worden door een reeks van verstandelijke beslissingen. Toen kwam er een poëtische beslissing tussendoor. Het ontwerp was in grote lijnen symmetrisch maar na een bijstelling die het gevolg was van een gulden snede diagram werd het karakter van de gehele gevel asymmetrisch. De vorm lijkt naar links uit te groeien en naar rechts te krimpen als gevolg van de tweevoudige druk van de plek: de rots en de zee. Met andere woorden de afscheiding tussen kleine louvres en grote louvres werd naar links van het midden verschoven, zodat de verdeling van de gevel correspondeert met de verhouding van de gulden snede. Zo schept de verdeling van de gevel een illusie van asymmetrie hoewel de plattegrond symmetrisch bleef.'

Le Corbusier geloofde dat deze maten, direct gerelateerd aan het menselijk lichaam, architecten zouden helpen bouwwerken aan de behoefte van de mens aan te passen.

'De getallen van de Modulor, die uit een oneindig aantal mogelijke waarden gekozen wordt, zijn maten, dat wil zeggen, echte lichamelijke feiten. Ze horen bij een systeem van getallen en hebben daar ook het voordeel van. Waarschijnlijk kiezen we eerder de beste maten als we ze kunnen zien, met uitgestrekte handen kunnen schatten, niet alleen voorstellen (tenminste voor maten die dicht bij ons eigen postuur liggen). Het modulor-meetlint moet daarom op het tekenbord van de architect liggen naast zijn passer, zodat dit hem een direct zicht kan bieden op de maten en bijgevolg een concrete keus kan bieden. Architectuur (ik pas die term toe op bijna elk object dat door de mens gemaakt is) moet onze lichamelijke zinnen aanspreken evenzeer als onze geest.

Le Corbusier De architect Le Corbusier voelde bij het ontwerpen van gebouwen enerzijds een dringende behoefte aan regels die sturing aan een ontwerp konden geven. Tot die maatgevende regels behoren zijn 'controlelijnen' en later het maatsysteem van de Modulor. Anderzijds wilde hij er ook weer van af, als hem dat beter uitkwam. Le Corbusier beschouwde zijn 'tracés régulateurs' of corrigerende controle- of hulplijnen niet als vooraf vastgestelde rasters waarop het ontwerp gebaseerd moest worden. Ze werden alleen gebruikt nadat het ontwerp klaar was, om de verhoudingen preciezer te maken. Hij ontdekte de noodzaak van zulke diagrammen aan het begin van zijn loopbaan. 'Ik bouwde mijn eerste huis toen ik zeventien was; het zat vol decoraties. Ik was vierentwintig toen ik mijn tweede huis bouwde; het was wit en kaal: ik had tussendoor gereisd. De tekeningen van dit tweede huis lagen op mijn tekentafel. Het was in 1911. Ik werd plotseling getroffen door de willekeurige plaatsing van de openingen in de gevel (de vensters). Ik maakte ze zwart met houtskool; de zwarte vlekken spraken nu de een of andere taal, maar een onsamenhangende. Opnieuw werd ik getroffen door het ontbreken van een regel of wetmatigheid. Verbijsterd realiseerde ik me dat ik in een totale chaos werkte. Toen ontdekte ik voor mijn eigen gebruik de noodzaak van een regulerend instrument. Deze obsessie zou voortaan in mijn hoofd blijven hangen.( ...) Er is geen harde en snelle, gemakkelijk toepasbare formule om 'tracés regulateurs' te gebruiken; het is echt een zaak van inspiratie, van echte creativiteit. Je moet de verborgen geometrische wet ontdekken die het karakter van een ontwerp bepaalt en beheerst. Op een gegeven moment wordt het ineens duidelijk en worden alle delen tot een geheel gebracht. Dan volgen er een paar correcties, enkele aanpassingen en tenslotte zal een volmaakte harmonie heersen.'		*Uit: Jacques Guiton, The ideas of Le Corbusier, New York 1981*
Le Corbusier, Villa in Garches, Diagram met verhoudingen van de gevel
Over het gebruik van 'tracés regulateurs' voor een villa in Garches zegt hij: 'Het ontwerp van het hele huis werd beheerst door strenge 'tracés regulateurs' die het effect hadden dat ze de dimensies van de verschillende delen veranderden. Soms maar met een enkele centimeter. In zo'n geval zijn wiskundige wetmatigheden geruststellend: als het klaar is weet je dat het helemaal goed zit. De noordgevel wordt bepaald door diagonalen. Maar er zijn drie horizontale stroken van gesloten muur tussen de openingen. Hun respectievelijke breedte leek een numerieke progressie te vormen. Bij nadere beschouwing bleek dat het in feite een 1,2,4 progressie was. Een kleine wijziging van de tekening maakte de progressie beter. Dit is een voorbeeld van een numeriek schema. Bovendien waren om constructieve redenen de betonnen pijlers op regelmatige afstand geplaatst. Naar de gevel kijkend is men zich steeds bewust van de numerieke maten die deze structuur beheersen. In Garches is dus, in aanvulling op de twee voorgaande diagrammen (de diagonalen en de 1,2,4 progressie) een derde zogezegd ingebouwd diagram dat door het structureel skelet wordt aangegeven. Het is een cadans van 2-1-2-1-2. De zuidgevel is ook gebaseerd op diagonalen. Dit leidde tot een interessante bijstelling van de tekening. Ik heb het over de leuning van de trap naar de tuin die parallel is aan de diagonaal van de gevel. Om dit resultaat te krijgen moest ik de grond aan het eind van de trap een beetje ophogen. Zulke subtiliteiten tellen.
Le Corbusier, Villa in Garches, Noord- en Zuidgevel
Tenslotte verleent nog een andere, bijzonder belangrijke 'tracé regulateur' in het schema strenge precisie aan het dominante ritme van deze gevel. Ik spreek over de relatie die de breedte van de westzijde van de gevel (A) aan die van de aangrenzende zijde (B) bindt. De twee belangrijkste elementen van de compositie. Deze betrekking is gebaseerd op de beroemde verhouding die in alle belangrijke historische perioden gebruikt werd: de gulden snede. Als ik de lengte van het gebouw in twee delen wil verdelen, biedt de gulden snede een punt dat wiskundig exact is. Het enige punt dat zo'n subtiele verdeling kan scheppen. Ik zou bijvoorbeeld de gevel in twee gelijke delen kunnen verdelen of het een 1:2 of 2:3 verhouding kunnen geven, maar deze verdelingen lijken soms banaal of slap. Maar niet altijd. Ook hier moet je op je eigen oordeel afgaan.'
	De gulden snede De verhouding van de gulden snede wordt uitgedrukt in de formule A:B=B:(A+B). Als we een rechte lijn in twee delen A en B verdelen zodat A/B=B/(A+B) of B/A=(A+B)/B vinden we dat de verhouding B/A gelijk is aan (1+V5)/2 of ongeveer 1,618. Dit getal wordt weergegeven door de griekse letter o. Als we de lijn verlengen door deel B met een deel gelijk aan (A+B) krijgen we een reeks van drie lengten A,B,A+B. Dit is het begin van een 'gulden reeks' een wiskundige proportie gebaseerd op de verhouding 0, waar ieder term gelijk is aan de som van de twee voorgaande termen. Het is de enige reeks waarin de termen met elkaar verbonden zijn door vermenig-vuldiging en optelling. In de reeks van de hele getallen 0,1,1,2,3,5,8,13 enz. waar elk getal de som is van de twee voorgaande getallen, nadert de verhouding van twee opeenvolgende getallen het getal o. Deze reeks die in de twaalfde eeuw ontdekt werd door de italiaanse wiskundige Fibonacci, is een benadering van de gulden reeks. Le Corbusier gebruikte de gulden snede weer in het ontwerp van zijn zakencentrum' in Algiers. Hij suggereert dat het dezelfde eenheid schept van eenheid en verscheidenheid die ook in natuurlijke organismen bestaat.
		Le Corbusier, Tekening van een boom als voorbeeld voor het organisme van een gebouw
	'Natuurlijke organismen leren ons een belangrijke les: eenheid in vorm, zuivere silhouetten. De secundaire elementen zijn verdeeld op een verlopende schaal die zowel eenheid als verscheidenheid verzekert. Het systeem is tot in zijn verste vertakkingen een geheel.' Over het 'zakencentrum': 'Hier heerst de gulden snede: het heeft de harmonische verpakking en een sprankelend prisma verschaft; het heeft het ritme op een menselijke schaal geregeld, variaties mogelijk gemaakt, fantasierijke details mogelijk gemaakt en het algehele karakter van onder tot boven beheerst. Dit 150 meter hoge gebouw is tegen alle risico's verzekerd: het is in alle delen harmonieus. Het moet bijna wel met ons gevoel harmoniëren.' Le Corbusier laat ook zien hoe de gulden snede het karakter van de gevel veranderde: 'Alles leek onverbiddelijk beheerst te worden door een reeks van verstandelijke beslissingen. Toen kwam er een poëtische beslissing tussendoor. Het ontwerp was in grote lijnen symmetrisch maar na een bijstelling die het gevolg was van een gulden snede diagram werd het karakter van de gehele gevel asymmetrisch. De vorm lijkt naar links uit te groeien en naar rechts te krimpen als gevolg van de tweevoudige druk van de plek: de rots en de zee. Met andere woorden de afscheiding tussen kleine louvres en grote louvres werd naar links van het midden verschoven, zodat de verdeling van de gevel correspondeert met de verhouding van de gulden snede. Zo schept de verdeling van de gevel een illusie van asymmetrie hoewel de plattegrond symmetrisch bleef.'
		Le Corbusier, 'zakencentrum' in Algiers
Le Corbusier, Dakterras van de Unité d'Habitation, Marseille, 1945-52
Modulor De bestudering van de gulden snede bracht Le Corbusier tot de 'Modulor': een systeem van verhoudingen die hij als volgt beschrijft: 'De modulor is een maatsysteem gebaseerd op het menselijk lichaam en de wiskunde. De hoogte van een man met opgeheven arm kan in delen worden verdeeld op punten die zijn positie in de ruimte bepalen: zijn voeten, zijn navel, zijn hoofd, zijn vingertoppen. Deze drie intervallen leveren een reeks uit de gulden snede.' Het principe van de gulden snede is hier gebruikt om twee reeksen met afmetingen van de menselijke figuur op te stellen. De ene (blauwe reeks) is gebaseerd op de hoogte van een staande man met opgeheven arm: 2.26 meter. De andere (rode reeks) is gebaseerd op de hoogte van deze man gemeten van zijn voet tot zijn kruin: 1.83 meter.
Le Corbusier, Dak van de Unité d'Habitation, Marseille, 1945-52 Maten ontleend aan de modulorreeksen B(blauw) en R (rood) A vloerdikte 338 B dak met opstand 43R C basis van de ventilator 868 D hoogte van de scheidingswanden 1138 E lage muren 1408 F diverse muren 1838 G hoogte van de 'moederkamer' 226a H bar 2968 I breedte van het kinderbadje 3668 J hoogte van de sportzaal 4798 K lengte van het zwembad 7758 enz.
Le Corbusier geloofde dat deze maten, direct gerelateerd aan het menselijk lichaam, architecten zouden helpen bouwwerken aan de behoefte van de mens aan te passen. 'De getallen van de Modulor, die uit een oneindig aantal mogelijke waarden gekozen wordt, zijn maten, dat wil zeggen, echte lichamelijke feiten. Ze horen bij een systeem van getallen en hebben daar ook het voordeel van. Waarschijnlijk kiezen we eerder de beste maten als we ze kunnen zien, met uitgestrekte handen kunnen schatten, niet alleen voorstellen (tenminste voor maten die dicht bij ons eigen postuur liggen). Het modulor-meetlint moet daarom op het tekenbord van de architect liggen naast zijn passer, zodat dit hem een direct zicht kan bieden op de maten en bijgevolg een concrete keus kan bieden. Architectuur (ik pas die term toe op bijna elk object dat door de mens gemaakt is) moet onze lichamelijke zinnen aanspreken evenzeer als onze geest.
	'De modulor is een stuk gereedschap, een precisie-instrument. Je kunt het zien als een klavier, een piano, een piano die gestemd is. De piano is gestemd, hoe goed je erop speelt hangt van jou af. De modulor verschaft geen talent of, nog minder, genialiteit. Hij scherpt een saaie geest niet aan. Wel geeft hij de gebruiker de voldoening met maten te werken die principieel goed zijn. Maar uit het onbeperkt aantal combinaties van de modulor moet je zelf een keus maken.' 'De modulor is een stuk gereedschap, een precisie instrument. Je kunt het zien als een klavier, een piano die gestemd is. De piano is gestemd, hoe goed je er opspeelt hangt van jou af. De modulor verschaft geen talent of, nog minder genialiteit. Hij scherpt een saaie geest niet aan. Wel geeft hij de gebruiker de voldoening met maten te werken die principieel goed zijn. Maar uit het onbeperkt aantal combinaties van de modulor moet je zelf een keus maken.'